题目描述

给你正整数 $n$，求$\sum_{i=1}^{n}\mu(i^2)\\ f(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i^2)$的值。

Solution

首先，第一行是搞笑的，因为 $\forall i\in[2,\infty)$ 都有 $\mu(i^2)=0$，所以第一行的值为 $1$。

然后看第二行。知道 $\varphi(i^2)=i\times\varphi(i)$。设 $g(x)=x,h(x)=x^2$，则有$f*g=h$
设$S(x)=\sum_{i=1}^{x}f(i)$根据 杜教筛的套路式，有$g(1)S(n)=\sum_{i=1}^{n}h(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)S(\frac ni)$即$S(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}6-\sum_{i=2}^{n}i·S(\frac ni)$

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<map>

#define reg register
typedef long long ll;

const int MAXN=500;
const int MOD=1000000007;
ll n;
int len=0;
int p[MAXN+10];
bool vis[MAXN+10];
int phi[MAXN+10];
ll S_phi[MAXN+10];
ll inv6;
std::map<ll,ll>mp;

ll pow(ll x,int y){
	if(!y) return 1;
	ll c=pow(x,y/2)%MOD;
	if(y&1) return (c*c)%MOD*x%MOD;
	return (c*c)%MOD;
}
void init(){
	memset(vis,1,sizeof(vis));phi[1]=1;
	for(reg int i=2;i<=MAXN;++i){
		if(vis[i]){
			p[++len]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(reg int j=1;i*p[j]<=MAXN&&j<=len;++j){
			vis[i*p[j]]=0;
			if(i%p[j])
				phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
			else{
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
		}
	}
	S_phi[0]=0;
	for(reg int i=1;i<=MAXN;++i){
		phi[i]%=MOD;
		S_phi[i]=(S_phi[i-1]+(ll)i*phi[i]%MOD)%MOD;
	}
	inv6=pow(6,MOD-2);
}
ll F(ll x){
	return (ll)x*(x+1)%MOD*(x+x+1)%MOD*inv6%MOD;
}
ll C(ll l,ll r){
	return (l+r)*(r-l+1)/2%MOD;
}
ll S(ll x){
	if(x<MAXN) return S_phi[x];
	if(mp[x]) return mp[x];
	ll sum=0;
	for(reg ll l=2,r;l<=x;l=r+1){
		r=x/(x/l);
		sum=(sum+S(x/l)*C(l,r)%MOD)%MOD;
	}
	return mp[x]=((F(x)-sum+MOD)%MOD);
}
int main(){
	init();
	scanf("%lld",&n);
	printf("1\n%lld",S(n));
}

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