复旦大学2013--2014学年第一学期（13级）高等代数I期末考试第七大题解答
七、（本题10分）设 \(A\) 为数域\(K\) 上的\(n\) 阶非异阵, 证明: 对任意的对角阵\(B\in M_n(K)\), \(A^{-1}BA\) 均为对角阵的充分必要条件是\(A=P_1P_2\cdots P_r\), 其中\(P_i\) 均为第一类初等阵 (即对换\(I_n\) 的某两行) 或第二类初等阵 (即非零常数乘以\(I_n\) 的某一行).
证明 充分性通过简单验证即可证明. 现证必要性, 设\(A=(a_{ij})_{n\times n}\), 取\(B=\mathrm{diag}\{1,2,\cdots,n\}\), 设\(A^{-1}BA=C=\mathrm{diag}\{d_1,d_2,\cdots,d_n\}\). 由\(BA=AC\)知对任意的 \(i，j\) 成立:\[ia_{ij}=d_ja_{ij}.\]
因为\(A\) 的每个列向量均非零, 故对任意的\(1\leq j\leq n\), 存在某个行指标\(i_j\) 使得\(a_{i_j j}\neq 0\). 由上述条件可得\[d_j=i_j,\,\,\forall\,1\leq j\leq n.\]
再次带入上述条件可得\[a_{ij}=0,\,\,\forall\,i\neq i_j,\,1\leq j\leq n.\]
由\(A\) 的非异性知\(A\) 的列向量线性无关, 从而\(i_1,i_2,\cdots,i_n\) 是\(1,2,\cdots,n\) 的全排列, 故通过若干次行对换可将\(A\) 变为对角阵且主对角线上元素非零; 再通过若干次第二类初等行变换可将矩阵变为单位阵\(I_n\), 故\(A\) 是第一类初等阵和第二类初等阵的乘积. \(\Box\)
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