算法设计与分析——电路布线（动态规划）

一、问题描述

在一块电路板的上下两端分别有n个接线柱。根据电路设计，要求用导线 (i，π(i))，将上端接线柱 i 与下端接线柱 π(i) 相连，
如图，其中 π(i)，1<=i<=n，是(1,2……,n)的一个排列。导线(i，π(i))称为该电路板上的第i条连线。对于任何 1<=i<s<=n，第i条连线和第s条连线相交的充分且必要条件是 π(i) > π(s)。

在制作电路板时，要求将这n条线分布到若干个绝缘层上，在同一层上的连线不能相交。电路布线问题要确定将哪些连线安排在第一层上，使得该层上有尽可能多的连线。换句话说，该问题要求确定导线集Nets = { （i,π(i)），1<=i<=n }的最大不相交子集。

二、算法思路

1、最优子结构性质

N(i,j)表示上面节点i与下面节点j连线的左侧区域内（包括i j连线）的连线集合，MNS(i,j)表示连线左侧区域内最大不相交连线子集，Size(i,j)表示MNS(i,j)集合中连线的个数。

在这里注意N(i,j)和MNS(i,j)表示的都是集合！！内存储的是连线，Size(i,j)存储的才是最大不相交连线的个数！！

2、递归计算最优值

当i=1的时候很好理解。

当i>1时，我们还是看上面的那个连线图。

当j<π(i)时，t[8][9]=t[7][9]。

当j>=π(i)时，t[7][9]=[6][8]+1。琢磨一下是不是符合表达式？

void MNS(int C[],int n,int **size)  
{  
    for(int j=0;j<C[1];j++)  
    {  
        size[1][j]=0;  
    }  
  
    for(int j=C[1]; j<=n; j++)  
    {  
        size[1][j]=1;  
    }  
  
    for(int i=2; i<n; i++)  
    {  
        for(int j=0; j<C[i]; j++)  
        {  
            size[i][j]=size[i-1][j];//当i<c[i]的情形  
        }  
        for(int j=C[i]; j<=n; j++)  
        {  
            //当j>=c[i]时，考虑(i，c[i])是否属于MNS(i,j)的两种情况  
            size[i][j]=max(size[i-1][j],size[i-1][C[i]-1]+1);  
        }  
    }  
    size[n][n]=max(size[n-1][n],size[n-1][C[n]-1]+1);  
}

3、构造最优解

红色标明的就是算法选择的路径（向上优先，也可以用向左优先，答案都是四个，但值会有一点不同）。在斜角值改变时可以取得所求的子集。即 9->10,7->9, 5->5, 3->4

void Traceback(int C[],int **size,int n,int Net[],int& m)  
{  
    int j=n;  
    m=0;  
    for(int i=n;i>1;i--)  
    {  
        if(size[i][j]!=size[i-1][j])//此时，（i,c[i])是最大不相交子集的一条边  
        {  
            Net[m++]=i;  
            j=C[i]-1;//更新扩展连线柱区间  
        }  
    }  
    if(j>=C[1])//处理i=1的情形  
    {  
        Net[m++]=1;  
    }  
}

4、计算复杂性

5、演示代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 10;

void MNS(int C[],int n,int **size);
void Traceback(int C[],int **size,int n,int Net[],int& m);

int main()
{
    int c[] = {0,8,7,4,2,5,1,9,3,10,6};//下标从1开始
    int **size = new int *[N+1];

    for(int i=0; i<=N; i++)
    {
        size[i] = new int[N+1];
    }

    MNS(c,N,size);

    cout<<"电路布线最大不相交连线数目为："<<size[N][N]<<endl;

    int Net[N],m;
    Traceback(c,size,N,Net,m);

    cout<<"最大不相交连线分别为："<<endl;
    for(int i=m-1; i>=0; i--)
    {
        cout<<"("<<Net[i]<<","<<c[Net[i]]<<") ";
    }
    cout<<endl;
    return 0;
}

void MNS(int C[],int n,int **size)
{
    for(int j=0;j<C[1];j++)
    {
        size[1][j]=0;
    }

    for(int j=C[1]; j<=n; j++)
    {
        size[1][j]=1;
    }

    for(int i=2; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<C[i]; j++)
        {
            size[i][j]=size[i-1][j];//当i<c[i]的情形
        }
        for(int j=C[i]; j<=n; j++)
        {
            //当j>=c[i]时，考虑(i，c[i])是否属于MNS(i,j)的两种情况
            size[i][j]=max(size[i-1][j],size[i-1][C[i]-1]+1);
        }
    }
    size[n][n]=max(size[n-1][n],size[n-1][C[n]-1]+1);
}

void Traceback(int C[],int **size,int n,int Net[],int& m)
{
    int j=n;
    m=0;
    for(int i=n;i>1;i--)
    {
        if(size[i][j]!=size[i-1][j])//此时，（i,c[i])是最大不相交子集的一条边
        {
            Net[m++]=i;
            j=C[i]-1;//更新扩展连线柱区间
        }
    }
    if(j>=C[1])//处理i=1的情形
    {
        Net[m++]=1;
    }
}

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