不使用Math.sqrt实现求平方根

利用牛顿迭代法来求平方根。

设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点做曲线的切线L，L的方程为，求出L与x轴交点的横坐标，称x1为r的一次近似值。过点做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称为r的次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

对于x²=a，求a的平方根来说，相当于f(x)=x²-a，求曲线与x轴的交点。由上述结论可推导，x_n+1=x_n-f(x)/(2x_n)，假设要求平方根的数为a，x_n+1约等于x_n，则平方根x_n+1约等于x-(x²-a)/(2x)，即(x/2+a/2x)。

这时，曲线f(t) = t² - a 上对应的点为(t, t²- a), 过这个点切线的斜率为2t
如果我们把这一步迭代根的逼近距离(下图横轴红色表示)设为d, 那么结合1我们有： 2t = (t² - a) / d
所以 d = (t - a/t)2, 这一步迭代后根坐标为(t - d, 0)，即(t + a/t)/2
判断精度，如果精度满足跳出迭代，如果不满足，重复step1.

public double sqrt(double x){
         //防止传入的参数小于0
         if(x<0){
               return Double.NaN;
         }
         double eps=1e-12;//保留小数点位数
         double t=x;
         //条件还可以这样写 while(Math.abs(t-x/t)>eps*t)
         while(Math.abs(t*t-x)>eps){
                 t=(t+x/t)/2.0;
         }
         return t;
}

进一步优化

//求x的平方根
public double sqrt(double x){
         //防止传入参数小于0
         if(x<0){
                 return Double.NaN;
         }
         double eps=1e-15; //精确度
         double m=x; //第i个值
         double n; //第i+1个值
         do{
                n=m;
                m=(m+x/m)/2.0;
         }while(Math.abs(m-n)>eps);
         return m;
}

扩展之后，求x的三次方根

public double cbrt(double x){
         double m=x;
         double eps=1e-15;
         double n;
         do{
               n=m;
               m=(2*m+x/(m*m))/3.0;
         }while(Math.abs(m-n)>eps);
         return m;
}

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