一道西班牙竞赛题和双曲函数
第31届西班牙数学竞赛第2题为：若$(\sqrt{x_{0}^2+1}+x_{0})(\sqrt{y_{0}^2+1}+y_{0})=1$,则$x_{0}+y_{0}=0$.
证明:首先易得$\sqrt{x_{0}^2+1}+x_{0}>0,\sqrt{y_{0}^2+1}+y_{0}>0$.因此由题设可知
$$\log (\sqrt{x_{0}^2+1}+x_{0})+\log(\sqrt{y_{0}^2+1}+y_{0})=0$$令$f(x)=\log(\sqrt{x^2+1}+x)$.易得$f(x)$的反函数为双曲正弦函数$$f^{-1}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$易得$f^{-1}(x)$为奇函数，因此$f(x)$为奇函数(为什么?)，现在$f(x_0)+f(y_0)=0$,即$f(x_0)=f(-y_0)$.由于$f^{-1}(x)$严格单调，因此$f(x)$也严格单调(为什么?)因此$x_0=-y_0$,即$x_0+y_0=0$.
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