高数随笔
反函数
明确一点：反函数与原函数的定义域值域两者正好颠倒且关于y=x对称。值得注意的是反函数也是函数，具有函数的性质，满足一对一原则，圆就不是函数，它是一对二了。
求解方法：将原函数用x解出来，第二部将其定义域加上。要求判断一个函数是不是反函数的时候，可以先假设它有反函数，然后将反函数求出来，最后再用函数的性质判断是否是函数，就可解决此问题。
当题目给出反函数，让我们求原函数的时候，可以根据书上所说反函数记作x=f-1(y)，而通常我们习惯上写y=f-1(x)，这样我们就知道其实给出的反函数只要将它的x变成y，y变成x就可以了。
反函数引申 ：反三角函数是不是三角函数的反函数呢？
答案是否定的，因为三角函数没有反函数，或者说在一定的定义域内是有反三角函数的，换一句话说，只有单调的函数才有反函数，所以我们取三角函数的单调区间来研究其反三角函数,sinx为【-π/2，π/2】、cosx为【0，π】、tanx为【-π/2，π/2】（其他的区间我们都不看，这是规定，我们只要遵守这个规定就行了）。
画反函数的图像自然不用迎刃而解
有一个好用的方法是将“原”函数逆时针旋转90度，再将图像关于x轴对称就可以了。知道规定单调区间后就等同于知道对应的反函数的值域与定义域（因为值域=原函数定义域，定义域=原函数值域）
在三角函数里面还有一个是cot(x)=1/tan(x)，在画反余切的时候我们取【0，π】
函数定义
函数是根据这个“function”对应法则来建立的关系，所以就有了y=f(x),f(x)是一个抽象的函数，没有具体的对应法则。
注：函数两要素:定义域，对应法则；是否为同一个函数与自变量的表现形式无关
根据这个就有了一个解定义域的题目：f(x)的定义域是【-1，2】，则g(x)=f(2x)+f(x+2)的定义域是？2x就是x,x+2就是x,即-1<=2x<=2;-1<=x+2<=2.即把里面看作一个整体
或者函数y＝f（x∧2）的定义域为[0，2]，则f(x)的定义域
f（x∧2）的定义域为[0，2]，说明x的范围是[0,2]
题干中的f(x)，可以换成h(a),以免误会
因为函数的定义域与函数的表现形式无关，所以a的定义域就是x^2的范围[0,4]，这个a就是求的x
函数的性质
1.有界性----------->将函数的值放在一个圈子里面包起来，函数的值不能超过这个值，因为是一个一维的数轴空间所以我们要加上绝对值。任意的x，存在|f(x)|<=M，即往上跑跑不过M，往下跑跑不过-M,这样才能说有界，不能只有上值没有下值。
引申：函数的上界为任意的x带入函数中，存在一个数>=f(x)；最小的上界为上确界。举栗子|sinx|<=1，也可以说<=2、<=3；其中1为函数的上确界，2、3为上界，上界有无穷多个，我们关心的只是上确界。同理下界也有多个，最大的下界为下确界。
注：A、f(x)有界则说明函数既有上界又有下界
根据这个有界性，我们有一种例题，用函数的放缩来判断函数有没有界。f(x)=x/(1+x2)，证明有界则要|f(x)|<=M，所以|x/(1+x2)|<M，存在M，我们将M找出来，运用放缩，1+x^2>=2x( a^2+b^2，分母越大反而越小，这样不等式就出来了，M=1/2.这里的放缩是运用不等式的性质。
B、函数有界一定要指明区间，例如1/x，在【1，2】为有界的，在【-1，1】区间是无界的
2.单调性
x1>x2 f(x1)>f(x2）则为单调递增，这个为严格的单调递增，f(x1)>=f(x2)，不是严格的，一般我们用导数的性质来求单调性的
3.奇偶性
在定积分那里具有应用 在这里注意一个函数f(x)=ln(x+根号（1+x^2))为奇函数，f(-x)=(-x+根号（1+x^2))，遇到根式差值有理化，切记切记切记！
第一步求出函数的定义域，奇偶性一定要求函数的定义域是对称的，为什么呢？因为我们要将-x带进去，如果负数取不到则不行。
第二步f(-x)与f(x)的关系，f(-x)=f(x)与f(-x)=-f(x),或者f(-x)-f(x)=0,f(-x)+f(x)=0,注意不知道函数的具体形式时候判断奇偶性用这个，例如判断f(x)+f(-x)或者f(x)-f(-x)的奇偶性，令F(x)=f(x)+f(-x),则F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),所以f(x)+f(-x)为偶函数，同理f(x)-f(-x)为奇函数
当为具体的函数的时候，我们常用性质来做，具体性质有：奇+奇=偶，偶+偶=偶，奇*奇=偶，奇*偶=奇，偶*偶=偶，奇/偶=奇，我们记忆的时候可以用口诀“#同偶异奇#”
注意：奇+偶(有可能是奇有可能是偶）它除外
最后我们证明一下奇函数+偶函数是不确定的奇偶性，[f(x)+f(-x)]+[f(x)-f(-x)]，这个就是奇函数加上偶函数，我们知道结果为2f(x)；所以奇偶性取决于f(x)本身他要是给你的是奇函数就是奇函数，给你的是偶函数就是偶函数。
通常我们的奇偶性在定积分的特定计算上用
4.周期性
f(x+T)=f(x)，则T为函数的一个最小周期
有一类题目是要我们求两个函数加起来后的周期F(x)=f(x)+g(x)，则是T1与T2的最小公倍数
分段函数 ###你的地盘听你的###
第一种：
在数轴上x的左边与x的右边都是表达式sinx/x，在求函数的左右导数的时候我们就能用的上了，记住一句话，在谁的领域就听谁的，左右导数分为在x轴的左边接近0，在x轴的右边接近0，分别用x->0+，x->0-。
第二种
|x|
一个函数的极限是不能有两个值的，所以这个函数的极限是不存在的
第三种
[x] 用于取x的整数部分，小于x的最大整数。
第一个是从右边趋向于0，一个是从左边趋向于0
第四种（隐蔽的）这种在积分里面考
这个我们就要分段考虑的
第五种经常出现在不定积分与定积分中
例如max(x,x^2) min(x,x^2)
通过画图将函数的图像画出来，然后将对应的区间max所对应的函数写出来
总结： 分段函数经常考极限、连续、导数（难点且重要）、不定积分、定积分（重要）
复合函数
复合函数的条件：内层函数的值域是外层函数的定义域的子集，所以并不是所有组合在一起的都是复合函数
经常会放在f(ex+1)=e2x+ex+1，求f(x)的表达式，会有这种的题型，我们这时候要用到反函数了，就是解出x的表达式然后带入原式子
初等函数为对基本的初等函数经过复合，加减乘除的运算形成的，分段函数不是初等函数，初等函数在它的定义域内是连续的是可导的，所以我们会讨论分段函数有分段点(接头点），来证明是否为连续的
数列极限
概念
数列an收敛于a，反之发散
注意：是一个要多小有多小的数，任意的，N是关于的函数，N是跟随着的变化的，a为极限的值，n为数列的下标对应的值
性质：
1.唯一性
2.有界性 是根据概念来的，|an-a|<推出a-<an<a+
3.极限的四则运算
方法：分子分母除以最高次幂的式子，根式有理化
极限存在的两个准则（计算极限的方法）
1.夹逼准则（用于数列和式）
第一步放缩，放是将所有的分母变成和式的最左边的分母，缩是将所有的分母都换成和式最右边的分母
第二步比较左右两边放缩的式子极限的是否相等
口诀：夹逼准则看两头，看了两头不用愁，看了两头仍发愁，积分定义帮你求
2.单调有界数列必有极限（具有递推式的数列）即给出如下的形式，不能用求导，求导只能用于连续的函数
*****重要******我们证明数列的单调有界性，我们要么做差要么做除，数学归纳法
数学归纳法
1.证明单调性
我们一看就知道这个数列是单调递减的数列，所以第一步假设符合单调递减的形式xn-1>xn
第二步我们将这个假设当作是正确的，我们只要证明在这个假设的条件下，xn>xn+1就可以了。
2.证明有界
铺垫： 数列收敛于某一个数的性质，如果一个数列收敛于一个数，则它的子数列也收敛于同一个值，an收敛于a，则a2n+1、a2n、an+1也收敛于a，因为他们为an的子数列
假定xn的极限存在且为A,则xn+1的极限也是A,所以有题干就知道A=根号6+A,接的A=3，这个3就是这个数列的极限
这个3就是上面的铺垫来的
所以这个函数是单调且有界，必有极限，其实这个3就是极限
总结：单调有界两步走，先求后证分到手，先求它的界值
极限的运算
古人以右为尊，所以+表示右边，-表示左边。连续的意思是函数在这一点的极限等于该点的函数值，极限存不存在与这一点是否有意义无关，例如第一个重要极限，x能不等0，但是极限还是存在的
定理：
X从左边与右边一起过来的
性质：有界性（局部有界性）、保号性（局部保号性），局部是因为在邻域中考虑的，与极值一样也是在邻域中考虑的
运算法则：四则运算
存在+存在=存在，存在-存在=存在，存在*存在=存在，存在/存在(不为0）=存在
经过四则运算后，可以得到所求得函数样子，则所求的函数极限存在；从单个存在可以推出整体的存在，或者将整体的存在，经过四则运算可以可以得到单个的存在
当所求的极限是一个分数的多项式且为趋向于无穷的时候，当分母的最高次幂=分子的最高次幂，等于其最高项之比，大于是为0，小于时为无穷
削去0因子法
当我们带入极限值为0的时候，则说明这个值为方程的一个根，我们通过因式分解将0因子削去
等价无穷小
将值向里面代入的时候（求极限的第一步）会有7中情况
性质：有限个无穷小量的和、差、积还是无穷小量
有界函数于无穷小量的乘积还是无穷小量
无穷小的阶比较
在求极限的时候如果没有用等价无穷小，则我这个题目做的有问题，最难的就是x的广义化
八个函数的等价无穷小
注意：等价无穷小使用时《‘+’、‘-’》中慎用，在因式的乘积中可用
无穷小等价化、根式差值有理化、幂指函数对数化、强行带入、定型定法、以洛为主
定：确定是哪种类型的
基本考的是0/0，洛必达法则要三思，用等价无穷小
“通分”
幂指数用e来通用化
在求极限的时候，我们看见cosx，就要想到1-cosx2，看见lnx，就要想到ln(x+1)，看到ex,就要想到ex-1
待更新。。。。。。
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