typedef struct cll

{

int num;

cll *next;

}cll;

int josephus (int m, int n, int k, cll *l)

{

int i;

cll *r, *p;

for (i = 0; i < n; i++)

{

p = (cll *)malloc(sizeof(cll));

p->num = i;

if (l == NULL)

{

l = p;

}

else

{

r->next = p;

}

r = p;

}

p->next = l;

p = l;

for (i = 0; i < k; i++)

{

r = p;

p = p->next;

}

while (p->next != p)

{

for (i = 0; i < m - 1; i++)

{

r =p;

p = p->next;

}

r->next = p->next;

printf("%d\n", p->num);

free(p);

p = r->next;

}

printf("last %d\n", p->num);

return p->num;

}

• 数学方法

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

　　为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

　　问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出

　　，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

　　我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

　　并且从k开始报0。

　　现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-3 --> n-3

k-2 --> n-2

　　序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n

　　序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n

　　序列3： k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1

　　序列4：1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1

　　变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

∵ k=m%n;

∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

　　得到 x‘=(x+m)%n

　　如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

　　令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

　　递推公式:

f[1]=0;

f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

　　有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：

#include <stdio.h> 
int main(void) 
{ 
int n, m, i, s=0; 
printf ("N M = "); 
scanf("%d%d", &n, &m); 
for (i=2; i<=n; i++) 
s=(s+m)%i; 
printf ("The winner is %d\n", s+1); 
return 0 ; 
} 

　　这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。 优质内容筛选与推荐>>
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