算法之美——魔鬼序列
《趣学算法》在线章节：http://www.epubit.com.cn/book/details/4825
趣味故事1-2：神奇兔子数列
假设第1个月有1对刚诞生的兔子，第2个月进入成熟期，第3个月开始生育兔子，而1对成熟的兔子每月会生1对兔子，兔子永不死去……那么，由1对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？
兔子数列即斐波那契数列，它的发明者是意大利数学家列昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170—1250）。1202年，他撰写了《算盘全书》（《Liber Abaci》）一书，该书是一部较全面的初等数学著作。书中系统地介绍了印度—阿拉伯数码及其演算法则，介绍了中国的“盈不足术”；引入了负数，并研究了一些简单的一次同余式组。
（1）问题分析
我们不妨拿新出生的1对小兔子分析：
第1个月，小兔子①没有繁殖能力，所以还是1对。
第2个月，小兔子①进入成熟期，仍然是1对。
第3个月，兔子①生了1对小兔子②，于是这个月共有2（1+1=2）对兔子。
第4个月，兔子①又生了1对小兔子③。因此共有3（1+2=3）对兔子。
第5个月，兔子①又生了1对小兔子④，而在第3个月出生的兔子②也生下了1对小兔子⑤。共有5（2+3=5）对兔子。
第6个月，兔子①②③各生下了1对小兔子。新生3对兔子加上原有的5对兔子这个月共有8（3+5=8）对兔子。
……
为了表达得更清楚，我们用图示来分别表示新生兔子、成熟期兔子和生育期兔子，兔子的繁殖过程如图1-10所示。
图1-10 兔子繁殖过程
这个数列有十分明显的特点，从第3个月开始，当月的兔子数=上月兔子数+当月新生兔子数，而当月新生的兔子正好是上上月的兔子数。因此，前面相邻两项之和，构成了后一项，即：
当月的兔子数=上月兔子数+上上月的兔子数
斐波那契数列如下：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
递归式表达式：
那么我们该怎么设计算法呢？
哈哈，这太简单了，用递归算法很快就算出来了！
（2）算法设计
首先按照递归表达式设计一个递归算法，见算法1-8。
//算法1-8
Fib1(int n)
{
if(n<1)
return -1;
if(n==1||n==2)
return 1;
return Fib1(n-1)+Fib1(n-2);
}写得不错，那么算法设计完成后，我们有3个问题：
- 算法是否正确？
- 算法复杂度如何？
- 能否改进算法？
（3）算法验证分析
第一个问题毋庸置疑，因为算法1-8是完全按照递推公式写出来的，所以正确性没有问题。那么算法复杂度呢？假设T(n)表示计算Fib1(n)所需要的基本操作次数，那么：
n=1时，T(n)=1； n=2时，T(n)=1； n=3时，T(n)=3；//调用Fib1(2)、Fib1(1)和执行一次加法运算Fib1(2)+Fib1(1)
因此，n>2时要分别调用Fib1(n−1)、Fib1(n−2)和执行一次加法运算，即：
n>2时，T(n)= T(n-1)+ T(n-2)+1；
递归表达式和时间复杂度T(n)之间的关系如下：
由此可得：
。
那么怎么计算F(n)呢？
有兴趣的读者可以看本书附录A中通项公式的求解方法，也可以看下文中的简略解释。
斐波那契数列通项为：
当n趋近于无穷时，
由于
，这是一个指数阶的算法！
如果我们今年计算出了F(100)，那么明年才能算出F(101)，多算一个斐波那契数需要一年的时间，爆炸增量函数是算法设计的噩梦！算法1-8的时间复杂度属于爆炸增量函数，这在算法设计时是应当避开的，那么我们能不能改进它呢？
（4）算法改进
既然斐波那契数列中的每一项是前两项之和，如果记录前两项的值，只需要一次加法运算就可以得到当前项，时间复杂度会不会更低一些？我们用数组试试看，见算法1-9。
//算法1-9
Fib2(int n)
{
if(n<1)
return -1;
int *a=new int[n];//定义一个数组
a[1]=1；
a[2]=1;
for(int i=3;i<=n;i++)
a[i]=a[i-1]+a[i-2];
return a[n];
}很明显，算法1-9的时间复杂度为О(n)。算法仍然是按照F(n)的定义，所以正确性没有问题，而时间复杂度却从算法1-8的指数阶降到了多项式阶，这是算法效率的一个巨大突破！
算法1-9使用了一个辅助数组记录中间结果，空间复杂度也为О(n)，其实我们只需要得到第n个斐波那契数，中间结果只是为了下一次使用，根本不需要记录。因此，我们可以采用迭代法进行算法设计，见算法1-10。
//算法1-10
Fib3(int n)
{
int i,s1,s2;
if(n<1)
return -1;
if(n==1||n==2)
return 1;
s1=1;
s2=1;
for(i=3; i<=n; i++)
{
s2=s1+s2; //辗转相加法
s1=s2-s1; //记录前一项
}
return s2;
}迭代过程如下。
初始值：s1=1；s2=1；
当前解 记录前一项
i=3时 s2=s1+s2=2 s1=s2−s1=1
i=4时 s2=s1+s2=3 s1=s2−s1=2
i=5时 s2=s1+s2=5 s1=s2−s1=3
i=6时 s2=s1+s2=8 s1=s2−s1=5
…… …… ……
算法1-10使用了若干个辅助变量，迭代辗转相加，每次记录前一项，时间复杂度为О(n)，但空间复杂度降到了О(1)。
问题的进一步讨论：我们能不能继续降阶，使算法时间复杂度更低呢？实质上，斐波那契数列时间复杂度还可以降到对数阶О(logn)，有兴趣的读者可以查阅相关资料。想想看，我们把一个算法从指数阶降到多项式阶，再降到对数阶，这是一件多么振奋人心的事！
有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，斐波那契数列前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割比0.618：1÷1 = 1，1÷2 = 0.5，2÷3 = 0.666，…，3÷5 = 0.6，5÷8 = 0.625，…，55÷89 = 0.617977，…，144÷233 = 0.618025，…，46368÷75025 = 0.6180339886……
越到后面，这些比值越接近黄金分割比：
斐波那契数列起源于兔子数列，这个现实中的例子让我们真切地感到数学源于生活，生活中我们需要不断地通过现象发现数学问题，而不是为了学习而学习。学习的目的是满足对世界的好奇心，如果我们怀着这样一颗好奇心，或许世界会因你而不同！斐波那契通过兔子繁殖来告诉我们这种数学问题的本质，随着数列项的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.618时，我彻底被震惊到了，因为数学可以表达美，这是令我们叹为观止的地方。当数学创造了更多的奇迹时，我们会发现数学本质上是可以回归到自然的，这样的事例让我们感受到数学的美，就像黄金分割、斐波那契数列，如同大自然中的一朵朵小花，散发着智慧的芳香……
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